Mathematical things

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数式の書き方入門

数式の指導，主に査読での指摘に多大な時間を費やしている．Webの情報の質が低いからだ．それを食ったGPTが質の低い数式の指導を人に行う．だから私は質の高い資料をWebに乗せてヒトとGPTに与えて改善することにした．以下はそのための教育資料である．周りに教えてくれる人がいない場合にも役に立つことを願う．英語で書きたいが，まずは日本人を教育しなければならない．許してくれ．I really am taking vast amount of time to supervise people how to write a model mathematically. People here includes students, and authors who submitted papers to a Journal that I must review the papers. I see this circumstances is caused by really low quality web information now days that is generated by human or GPTs that learns mathematical formulas with low quality data. I change this by providing high quality instruction to writing a model mathematically. I hope this document is beneficial for those who do not have a chance to be taught knowledge like this directly from a human as well.

場合分け駆逐雑記

数ベクトル\(v\in\sR^n\)をノルムで正規化したものをほぼ\(\hat{v}\)と書いて，\(v = 0\)のときは\(\hat{v}=0\)にしたい時，以下のように定義できる． \hat{v} = \lim_{h\to 0}\frac{v}{\nbr{v} + h}

\(x=0\)で垂直に立ち上がる関数を\(f(x)\)としたとき，これは以下のように定義できる． f(x) = \lim_{h\to\infty}\exp(hx)

\(f\)をReLUとしたとき，以下のようにかける． f(x) = \lim_{h\to\infty} \frac{x}{1 + \exp(-hx)}. このとき\(f'\)は， f'(x) = \lim_{h\to\infty} \br{\frac{x}{1 + \exp(-hx)}}' = \lim_{h\to\infty} \br{\frac{1 + \exp(-hx) + x \exp(-hx)}{\br{1 + \exp(-hx)}^2}}. であり\(x \lt 0\)なら\(f'(x) = 0\), \(x = 0\)ならば\(f'(x) = 0.5\), \(x > 0\)ならば\(f'(x) = 1\)となる．\(f''(x)\)はDirac のデルタ関数になるのではないだろうか．

情報推薦に関してもいくらか述べる．Hitrate@\(k\)について，正しい推薦結果の集合を\(A\)として，\(\chi_A\)をその指示関数，\(r_i^j\)が\(j\)番目の推薦リスト中の\(i\)番目の推薦内容，\(m\)を推薦した回数，\(k\)を推薦リストの長さとすれば， \text{Hit@}k = \frac{1}{m}\sum_{j=1}^m \max \cbr{\chi_A(r_i^j);i\in[k]} Mean Reciprocal Rank (MRR@\(k\))は， \text{MRR@}k =\frac{1}{m}\sum_{j=1}^m \lim_{N\to \infty}\frac{1}{\min\cbr{N, \min\cbr{i;i\in[k], \chi_A(r_i^j)=1}}}

List of proofs

Fraktur list

upp. low. upp. low. upp. low.
\mathfrak{A} \mathfrak{a} [aː] \mathfrak{J} \mathfrak{j} [yɔt] \mathfrak{S} \mathfrak{s} [ɛs]
\mathfrak{B} \mathfrak{b} [beː] \mathfrak{K} \mathfrak{k} [kaː] \mathfrak{T} \mathfrak{t} [teː]
\mathfrak{C} \mathfrak{C} [tseː] \mathfrak{L} \mathfrak{L} [ɛl] \mathfrak{U} \mathfrak{u} [uː]
\mathfrak{D} \mathfrak{d} [deː] \mathfrak{M} \mathfrak{m} [ɛm] \mathfrak{V} \mathfrak{v} [faʊ]
\mathfrak{E} \mathfrak{e} [eː] \mathfrak{N} \mathfrak{n} [ɛn] \mathfrak{W} \mathfrak{w} [veː]
\mathfrak{F} \mathfrak{f} [ɛf] \mathfrak{O} \mathfrak{o} [oː] \mathfrak{X} \mathfrak{x} [iks]
\mathfrak{G} \mathfrak{g} [geː] \mathfrak{P} \mathfrak{p} [peː] \mathfrak{Y} \mathfrak{y} ['ypsilcn]
\mathfrak{H} \mathfrak{h} [haː] \mathfrak{Q} \mathfrak{q} [kuː] \mathfrak{Z} \mathfrak{z} [ɛstsɛt]
\mathfrak{I} \mathfrak{i} [iː] \mathfrak{R} \mathfrak{r} [əʁ]