\[
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\]
論理について: 量化子の分離
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私みたいなアマチュアの数学者にとって、数学を理解するには、論理の形式操作がないと厳しい。同じ思いをする人がいるだろうから、ここに自明すぎて数学に慣れた人が使わないだろう論理操作を記述する。
ある集合\(A\)の要素\(a\)に関する命題\(P(a)\)があったとき、以下の関係が成り立つ。
\forall a\in A \br{P(a)} \Leftrightarrow \forall a \br{a\in A\Rightarrow P(a)}
また、次も成り立つ。
\exists a\in A\br{P(a)} \Leftrightarrow \exists a \br{a\in A \land P(a)}
上記はDe Morganの法則から最初の命題より導くことができる。
上記二つは考えてみれば明らかに成り立つだろう。量化記号が\(\in A\)などの要素命題と分離されているので、論理変形をこの形だと自由に行うことができるようになる。これを使うと、形式的な操作で命題を証明することが簡単になる場合が多い。
これは例えば、松阪の集合・位相にでてくる\(\)次の命題を示すのに使える。
f(A\cup B) = f(A)\cup f(B)
ここで、\(f: X \to Y\)は写像、\(A, B \subset X\)である。
上記は左辺と右辺の集合が等しいことを示す形の命題である。集合\(P, Q\)について、\(P = Q\)とは任意の\(b\)について\(b\in P \Leftrightarrow b\in Q\)だから、この論理式を示すことを目標にして、を以下のように証明できる。途中でを使っている。
&b\in f(A\cup B)\\
& \Leftrightarrow \exists a\in A\cup B \br{f(a) = b}\\
&\Leftrightarrow \exists a\br{a\in A\cup B \land f(a)= b} \quad\because \\
&\Leftrightarrow \exists a\br{\sbr{a\in A\lor a \in B }\land f(a)= b} \quad\because \text{definition of joint set} \\
&\Leftrightarrow \exists a\br{\sbr{a\in A\land f(a)= b}\lor\sbr{a \in B \land f(a)= b}} \ \because \text{distributive law of logic} \\
&\Leftrightarrow \br{\exists a\sbr{a\in A\land f(a)= b}}\lor\br{\exists a\sbr{a \in B \land f(a)= b}} \\
&\Leftrightarrow \br{\exists a\in A \sbr{f(a)= b}}\lor\br{\exists a \in B\sbr{ f(a)= b}} \\
&\Leftrightarrow b\in f(A) \lor b\in f(B) \\
&\Leftrightarrow b\in f(A) \cup f(B) \\
&\therefore f(A\cup B) = f(A)\cup f(B)
以下の例も考えてみよう。
A\cap B = \emptyset \Leftrightarrow A^c \supset B
これは次のように証明できる。
&A \cap B = \emptyset \\
& \Leftrightarrow \neg\br{\exists x\in A\cap B}\\
& \Leftrightarrow \neg\br{\exists x\br{ x\in A\cap B}}\because \\
& \Leftrightarrow \neg\br{\exists x\br{ x\in A\land x\in B}}\\
& \Leftrightarrow \forall x\br{\neg\br{ x\in A}\lor \neg\br{x\in B}}\because \text{De morgan's law}\\
& \Leftrightarrow \forall x\br{\neg\br{ x\in A}\Leftarrow x\in B}\because \text{Implication's logic}\\
& \Leftrightarrow \forall x\br{ x\in A^c\Leftarrow x\in B}\because \text{Complementary set}\\
& \Leftrightarrow \forall x\in B\br{ x\in A^c}\because \\
& \Leftrightarrow A^c \supset B\because\text{Definition of subset}\\
&\therefore A\cap B = \emptyset \Leftrightarrow A^c \supset B.
個人的には、同値変形は多くの場合難しいから、含意で背理方など使って\(\Rightarrow, \Leftarrow\)を順番に証明した方が練習になると思うけれど、この命題は簡単すぎて論理変形を行うとほぼ同値変形になってしまうだろう。