\(L\)を集合系、\(C\)を集合として、以下の命題がある。
\forall A \in L \br{A\supset C} \Rightarrow X \supset C
\(X = \bigcap L\)とする。このとき、
命題1: \(X\)は\(L\)に属する全ての集合に含まれるような集合のうちで最大のものである。
命題1を証明するために、定義と命題1を明確にする。まず\(L\)に属する全ての集合に含まれるような集合、の〜ような集合、を\(C\)とすれば、それは、以下を満たすことを確認する。
\forall A\in L\br{A \supset C}
次に、集合に関して、〜の中で最大、ということを定義するのだが、そのためにある集合\(A\)の中で\(a\)が最大ということの定義は、次のことであることをかくにんする.
\forall b\in A, a \geq b.
さらに、上記命題が最大であることの定義、であることまでを式で書けば、
a = \max A \Leftrightarrow \forall b\in A \br{b \geq a}
である。集合の最大の定義は、数の大小関係\(\geq\)の代わりに包含関係\(\subset\) をつかい定義されるから、集合系\(M\)のうちで\(X\)が最大である、と言いたいのであれば、
\forall C\in M\br{X \supset C}
ということになる。先ほどと同じように、上記が集合における最大の定義である、ということまでを式で述べれば、
X = \max M \Leftrightarrow \forall C \in M\br{X \subset C}
である。次にこの\(M\)を定義したい。上の\(M\)は命題1の〜な集合のうち、〜の集合達（集合系）に該当するのだから（最大の議論に使われていることからもわかるだろう）、それは次のようになる。
M = \cbr{B| \forall A \in L\br{A \supset B}}
この内包的定義の中の命題は、あきらかにに等しいことに注意せよ。そして、集合というのは、要素の定義を用いて以下のように範囲を書くこともできるから、これも見ておこう。
C \in M \Leftrightarrow \forall A \in L\br{A \supset C}
また、含意の拡大を覚えよう。\(A\subset U\)があったときに、以下が成り立つ。
\forall a\in A \br{P(A)}\Leftrightarrow \forall a\in U\br{a\in A \Rightarrow P(A)}
以上で命題1を書き換える準備が整った。命題1は、結局のところ\(X = \max M\)と言っているのであるから、ここから始めて、次の通り変形する。
X = \max M &\Leftrightarrow \forall C \in M\br{X \supset C }\quad \because \\
& \Leftrightarrow \forall C\in U, \br{C \in M \Rightarrow X \supset C} \quad \because \\
& \Leftrightarrow \forall C\in U, \br{\sbr{\forall A \in L\br{A\supset C} }\Rightarrow X \supset C}\quad\because \\
& \Leftrightarrow \forall C\in U, \text{True}\quad \because \\
& \Leftrightarrow \text{True}\\
なので、命題1は真であるから成り立つのである。