周期補間の課題

普通の補間

簡単のために，まずは，\(0\leq x \lt 5h\)の場合を考えよう．このとき，周期性も\(x \lt 0\)の場合も考える必要はない．\(x\)が属する2つの格子は，原点から\(x\)の場所までに\(h\)の幅がいくつ入るかを数えればよいため，\(x/h\)の値の整数部分を見れば良い．よって， i = \mathrm{int}(x/h) と求められる．補間に用いる左側の点の座標は\(x_i = hi\)であるため，補間の係数は， s = x - hi, t = 1 - s と求められる．これは内分点の公式よりわかる（正確には直線の方程式を考えるが，高校数学までで十分に習得していることを期待しこの説明を省く）．

補間に用いる両側の添字を，図より，\(i_1 = i, i_2 = i+1\)と求めようと思うが，\(i=N-1\)のときに，\(i_2 = N\)となり，有効な添字の最大値\(N-1\)を超えてしまうが，\(i=N\)の場所の値はもともと\(i=0\)の場所と同じであるから，これを用いることを考える．これは，次のように添え字を割り算のあまり（剰余演算子\(\%\)による結果）で修正することで実現できる． i_1 = i, i_2 = (i+1)\% N

ここまでで，補間値\(y \)を次の通り求めることができる． y = y_{i_1}t + y_{i_2} s

正の領域における周期補間

次に，\(h5 \leq x\)を含む，\(0\leq x\)の少し一般化した場合を考える．これは，格子点が基準となる範囲，ここでは\(i=0,1,...,4\)を超え，繰り返し終わりなく定義されていると考えれば，わかりが良いと思う．永遠と幅\(h\)で繰り返されていると考えるため，\(x\)の場所までの格子数は，\(\mathrm{int}(x/h)\)であるから，その直前の格子の添字はと同様に， i = \mathrm{int}(x/h) である．補間係数を，対応する\(y_{i}, y_{i+1}\)が用意されているとして，と同様に， s = x - hi, t = 1 - s と求める．このまま，\(y = y_{i_1}t + y_{i_2} s\)として，補間値\(y\)を求めたいところだが，\(y_{i}, y_{i+1}\)の値は用意されていないため，\(y_{i}=y_{i_1}, y_{i+1} = y_{i_2}\)となる\(i_1, i_2 \in\cbr{0,1,2,...,N-1}\)を探し，\(y_{i}, y_{i+1}\)の値を\(y_{i_1}, y_{i_2}\)で代用する．このとき，関数が周期\(T=5h\)で繰り返されていると考えると大変であるため，関数の点を定義する格子常の値が，\(i=0,1,2,...,N-1,0,1,2,...,N-1,...\)のように繰り返し同じ値を参照していることに着目する．このような列は，自然数の列\(j=1,2,...\)に対して， i = j\% N で得られる．先程求めた，\(i\)ももちろんこの規則に従っているため， i_1 = i \% N, i_2 = (i_1+1)\% N となる．どうしても上記の剰余の意味が分かりづらい場合は，実際にいくらか，\(i=0,1,2,3,4,0,1,2,3,4,..., j=1,2,3,4,5,6,7,8....\)のように値を入れて確認してみると良い．

以上で，により周期補間のための添字を求めれば，補間値をで求めることができる．結局，周期性を仮定しない場合との違いは，添字の計算でを用いるか，を用いるかだけである．しかし，はの場合を含むため，常に，を用いれば良い．

負の場所を含めた一般の場合

負の場合は，だいぶ難しい．正の領域における周期補間，の場合と同様に，\(i = \mathrm{int}(x/h)\)としたら，これは，原点から数えた\(h\)の幅が入る数を与えるため，この\(i\)を用いると，\(x_i = hi\)と\(x_{i+1}=(i+1)h\)の間に\(x\)が入らなくなる．格子が一つ分正の方向にずれてしまう．ただし，どの場合も，ちょうど一つ分ずれるだけであるから， i = \mathrm{int}(x/h) - 1 と計算すれば良い．で求めた\(i\)を用いれば，\(x \lt 0 \)の場合に \(x_i \lt x \lt x_{i+1}\)が満たされる．この\(i\)を用いて，補間係数をにより求めておく．

次に，正場合と同様に，\(y_{i}=y_{i_1}, y_{i+1} = y_{i_2}\)となる\(i_1, i_2\)を求める．今周期が\(T=hN\)だから，負の方向に添字\(i\)が\(N\)進むごとに，\(i=0\)の場所と同じ値を取ることがわかる．うまく想像ができない場合は，を見よ．可能な限り絵を描いたほうが理解が良いと思う．の真ん中のグラフの格子点に左のグラフのそれぞれの格子点が重ねることを考えれば，格子の添字\(i\)というのは，整数の添字\(j=...,-(N+1), -N,...,-2,-1,0,1,...,N,...,2N,...\)に対して， i = ...N-1, 0, 1,2,..., N-1,0,1,...,N-1,0,1,...,N-1,0,... と並んでいるわけである．\(j\)から上記の\(i\)は， \hat{i} = j\%N, i = (\hat{i} + N)\%N により作ることができる．二度も剰余を使う理由，途中\(N\)を足す理由を説明する．剰余を単に行っただけの\(\hat{i}\)は，\(j/N\)のあまりであるから，負の値を含む．しかし，あまりの定義から，\(\hat{i} = -(N-1), ...,-1,0\)の範囲に収まる．これに\(N\)を足すと，\(\hat{i} + N = 1, 2, ..., N\)となる．\(N\)の場所を\(0\)にして，あとの場所をそのままにしたいため，もう一度\(N\)の剰余を計算し，\(i= (\hat{i}+N)\% N = (j\% N +N)\% N = 1, 2,...,N-1, 0\)を得る．\(j\)に対するこの\(i\)並び方は，ちょうどの並び方に一致している．つまり，負の領域の格子点が基準の領域（図の真ん中の1周期分）の格子点に一致するからこれを用いれば良い．よって， i_1 = (i\%N + N) \% N, i_2 = (i_1+1)\% N を用いる．はの場合を含むため，\(x\)が負の場合にはを用い，以降の計算については，常にを用いれば良い．

\(x\)の値が任意の場合における処理を次にまとめる．

1. \(x \lt 0\)ならば, \(x \geq 0\)ならばで\(i\)を計算
2. で\(s, t\)の補間係数を計算
3. により基準の格子の添字を計算
4. により補間値\(y\)を計算