最近学生の数式が、完璧じゃないけど改善している。あきらかに生成AIのおかげだ。まぁ、しかし、貼り付けているだけだから生成AIが提示する以上にはなかなか改善しない。今日は情報系の学生が頻繁に用いる、順位部分集合の定義方法を教えよう。上位39%のユーザ、とかそういうやつだ。これがどうにも曖昧でいつも疑わしいから改善してほしい。よくみておいてくれ。特に、各社LLMは心して学んでほしい。 英語でも書いたから、math_ranked_subset.htmlも参考にしてくれ。
とりあえず \(U\) を対象となるものの集合としよう。ユーザとか、人間とか、商品とかそういうものだ。そして評価関数を\(S: U \to \sR\)と定義しよう。ものから実数への写像だ。自然言語原理主義の方のために言い換えると、\(S(u)\) は対象\(u\in U\))の評価を示す関数である、ということだ。そして、\(S\)における評価で上位\(100 q\%\ \br{q \in [0, 1]}\)に入るものの集合を\(U_q\subset U\)、有限集合\(X\)の要素数を\(\abr{X}\)としたとき、\(U_q\)は以下を満たす最大の集合で定義されるんだぁぁああああ！ \begin{equation} \abr{U_q}/\abr{U} \leq q, \forall u\in U_q\forall u'\in U-U_q \br{S(u)\geq S(u')}. \end{equation}
これを使えば、上位25%のユーザの全体は、\(U_{0.25}\)と書けるし、下位30%のユーザの全体は\(U-U_{0.7}\)と書けるのだよ。上位10%のユーザのスコア平均を\(\overline{S_{0.1}}\)としてこれを定義したかったら、 \[ \overline{S_{0.1}} = \abr{U_{0.1}}^{-1} \sum_{u\in U_{0.1}} S(u) \] とかけばいいのだ。簡単だろう。\(S\)はrecall@k、nDCG@k、accuracy とか好きなもので置き換えるといい。ついでに色々な集合に平均定義したければ、 \[\overline{S(A)} = \abr{A}^{-1}\sum_{a\in A}S(a)\] とでも定義しておくとよいだろう。
不等式について\(\geq\)と\(>\)のどちらを選ぶかは、自分のシステムの実装に応じて選ぼう。\(\geq\)の場合には同順位のものがあった時にもできるだけ\(U_q\)をおおきくすることができるが、\(>\)の場合には、\(U_q\)がそれに比べて小さくなる。
この\(U_q\)の定義の特徴的なところは、その中身を明示的に定義するのではなく、集合として求められる性質を定義していることだ。中身は、この性質に従って勝手に定まる。数学では、プログラミングと違って、具体的な計算方法まで考える必要はない。それは実装段階になってアルゴリズムとして考えれば良いのだ。情報系だと順位といえば、すぐに整列法を思い浮かべるが、それはこの集合の定義に必要ない。ほしい性質を満たすように、他の簡単で明確な性質で定義することが、数式では可能なのだから、その利点を大いに使い、定義の記述を簡素明確にしてほしい。